Erkelenz: Das regelmäßige 17-Eck

Erkelenz : Das regelmäßige 17-Eck

Das alte Jahr geht, das neue kommt. Aus 6 wird 7. Wir haben auf 17 erweitert. Und wir haben Heiner Platzbecker, früher Mathe-Lehrer am Gymnasium Korschenbroich, gebeten, sich mit der 17 zu beschäftigen. Dabei ist er auf ein mathematisches Husarenstück des jungen Carl Friedrich Gauß gestoßen.

Was haben ein fünfeckiger Weihnachtsstern und Herr Gauß gemein? Beide verbindet eine der aufregendsten Entdeckungen der Mathematikgeschichte: die Konstruktion des regelmäßigen 17- Ecks durch Carl Friedrich Gauß. In seinem Kultbuch "Untersuchungen über höhere Arithmetik" schreibt Gauß im Jahre 1801: "Es ist sicherlich sehr merkwürdig, dass, während schon zu Euklids Zeiten die geometrische Teilbarkeit des Kreises in drei und fünf Teile bekannt war, diesen Entdeckungen im Verlauf von 2000 Jahren nichts hinzugefügt worden ist."

In Euklids Elementen (ca.300 v.Chr.) und auch bei Ptolemaios findet man raffinierte Konstruktionen von regelmäßigen Drei-, Fünf- und Fünfzehnecken. Allein - keine anderen regelmäßigen n-Ecke werden bei den "Griechen" und in den folgenden zwei Jahrtausenden untersucht. Die "Griechen" konnten regelmäßige Fünfecksterne basteln, aber z.B. kein regelmäßiges Siebzehneck mit Zirkel und Lineal konstruieren.

Die geniale Idee, die der junge Gauss am 30. März 1796 in sein Tagebuch eintrug, soll am regelmäßigen Fünfeck erläutert werden:

Da das Fünfeck regelmäßig ist, kann man 5 gleich lange Pfeile vom Mittelpunkt M zu den 5 Eckpunkten einzeichnen. Wenn man jetzt diese fünf Pfeile aneinandersetzt (addiert), erhält man den Nullpfeil. Physikalisch bleibt der Punkt M in Ruhe, wenn fünf gleich große Kräfte in die eingezeichneten Pfeilrichtungen wirken. Damit gilt 1 + z + z2 + z3 + z4 = 0.

Diese Gleichung kann man lösen. Setzt man z4 = 1/z und z3 = 1/ z2, so gilt (Vorsicht!) (z + 1/z)2 + (z + 1/z) - 1 = 0. Dies ist eine quadratische Gleichung mit der Lösung z + 1/z = z + z4 = x mit

Jetzt kommt der entscheidende Punkt: Quadratwurzeln kann man zum Beispiel nach dem Satz des Pythagoras mit Zirkel und Lineal konstruieren! Also kann im obigen Fünfeck die Strecke MX konstruiert werden. Das Lot im Mittelpunkt dieser Strecke schneidet den Kreis in den "Eckpunkten" z und z4.

Teile dieser Lösung zum regelmäßigen Fünfeck kann man auf das regelmäßige Siebzehneck übertragen. Gauß legt den Eckpunkt 1 auf die x-Achse. Die verbleibenden 16 Eckpunkte (beim Fünfeck sind dies 4) werden so in zwei Gruppen zusammengefasst, dass die Summen und die Produkte dieser Zahlen bestimmte algebraische Gesetze erfüllen. Beim Fünfeck bilden z und z4 sowie z2 und z3 jeweils eine Gruppe. Jetzt unterteilt Gauß jede Gruppe mit 8 Eckpunkten geeignet in zwei Gruppen zu je 4 Werten. Diese Vierergruppen unterteilt er wie beim Fünfeck in passende Zweiergruppen. Am Ende erhält er wieder eine quadratische Gleichung für x = z + z16. Na ja - und jetzt wird es richtig wild: Aus den obigen Überlegungen erhält man für x den folgenden Term:

Es treten nur quadratische Wurzeln auf. Also ist die "wilde Zahl" x prinzipiell konstruierbar. Hieraus ergibt sich für die Seitenlänge s der Term

Also ist auch s konstruierbar. Für Insider: x ist der Kosinus von 360°/17 (0.93247...) und s die Seitenlänge des regelmäßigen 17-Ecks im Einheitskreis (0.36749...). Gauß hat die Grundlagen entdeckt! Konkrete Konstruktionen hat er anderen Mathematikern überlassen.

Zum Weiterlesen: www.mathematik-olympiaden.de/public/17_257_65537 und 2. Ostermann / Wanner: Geometry by ist History, S.241 ff..

(RP)
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