Geboren wurde der FDP-Politiker am 21. Juni 1970 in Bad Ems. Aufgewachsen ist er im gutbürgerlichen Bonner Stadtteil Röttgen. Mit 17 Jahren trat er in die FDP ein. Zunächst machte er sich in der Kommunalpolitik einen Namen. 2004 gewann Stamp mit 34 Jahren als erster Liberaler ein Direktmandat für den Stadtrat. Er arbeitete im Schulausschuss. 

Nach seiner Promotion über das Innenleben der Jungen Liberalen arbeitete der Politikwissenschaftler im Büro des damaligen Bundestagsabgeordneten Guido Westerwelle, der 2016 verstarb. Stamp war viele Jahre im Bundesvorstand der Jungen Liberalen. Seit 2006 sitzt er im Landesvorstand der NRW-FDP und seit 2012 auch im Bundesvorstand der FDP. Von 2010 bis 2012 war er Generalsekretär der Nordrhein-Westfälischen FDP. Am 25.November 2017 löste Stamp Christian Lindner als Landesvorsitzenden der NRW-FDP ab. Lindner wechselte zu diesem Zeitpunkt nach Berlin. 

Seit der Landtagswahl 2005 kandidierte Stamp immer im Landtagswahlkreis Bonn II. 2012 zog er über die Landesliste der FDP in den Landtag ein. Bis er zum Minister ernannt wurde, war Joachim Stamp ordentliches Mitglied und Sprecher des Integrationsausschusses, ordentliches Mitglied der Verfassungskommission und des Ausschusses für Familie, Kinder und Jugend sowie stellvertretendes Mitglied des Ausschusses für Arbeit, Gesundheit und Soziales.

Kritisch wurde es in seiner Karriere als NRW-Integrationsminister im Fall der rechtswidrig erfolgten Abschiebung des als Gefährder eingestuften Sami A. nach Tunesien. A. war Mitte Juli 2018 nach Tunesien abgeschoben worden, obwohl das Verwaltungsgericht Gelsenkirchen ein vorläufiges Abschiebeverbot bestätigt hatte, weil dem Mann in seiner Heimat Folter drohe. Stamp hatte die Rückführung trotzdem nicht gestoppt. Das Gericht ordnete daraufhin an, den Tunesier nach Deutschland zurückzuholen. Dagegen legte die Stadt Bochum Beschwerde ein, die das Oberverwaltungsgericht (OVG) in Münster zurückwies.

Der FDP-Mann übernahm persönlich die volle Verantwortung für diesen Vorgang, lehnte einen Rücktritt aber zunächst ab. Er bot an, sein Amt abzugeben, falls A. in Tunesien gefoltert würde. Im November 2018 hob das Gericht in Gelsenkirchen dann im Eilverfahren das Abschiebeverbot wieder auf. Stamp, der seitdem immer wieder mit Rücktrittforderungen konfrontiert war, zeigte sich erfreut über dieses Urteil.

Er selbst betonte erst im Dezember 2021 in einem Welt-Interview, dass er bei Amtsübernahme die Abschiebung von Gefährdern als Konsequenz aus dem Amri-Attentat am Berliner Breitscheidplatz neu aufgestellt habe. „Keiner schiebt konsequenter Straftäter und Gefährder ab als Nordrhein-Westfalen“, schrieb er dazu auf seinem Facebook-Account.